Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Schönen guten Tag, meine Damen und Herren. Wir haben beim letzten Mal uns ja mit erzwungenen

Schwingungen beschäftigt und hatten da als letztes die harmonische bzw. periodische Erregung uns

angeschaut und hatten als Ergebnis gefunden für die jetzt harmonische Erregung hier diesen

Frequenzgang mit der Frequenzgangmatrix F, die war hier aber I als imaginärer Einwand mal Omega die

Anregungsfrequenz mal die 1 als Minus A hoch Minus 1 und hier B0, das ist halt der rechte

Seite weg, also die Amplituden der harmonischen Anregung und wir wollen uns jetzt zunächst einmal

damit beschäftigen, was man damit machen kann, sozusagen aus dieser Frequenzgangmatrix ablesen

kann. Dazu gibt es jetzt zwei verschiedene Effekte, einmal den der Resonanz und auch den der Tilgung.

Wir wollen uns zunächst einmal mit Resonanz und Scheinresonanz, das ist etwas exotisches,

beschäftigen. Das kann man ganz gut ablesen, wenn ich die Inverse dieser Matrix, also dieses I Omega

I Minus A hoch Minus 1 etwas anders hinschreibe. Man kann die Inverse einer Matrix hinschreiben als

1 durch die Determinante mal die sogenannte adjungierte Matrix. Das ist das, wenn Sie eine

2 Kreuz 2 Matrix invertieren, da machen sie auch 1 durch die Determinante und dann tauschen sie

die Nebendiagonalelemente und setzen die Minuszeichen da anders. Das ist die adjungierte,

genau. Und das kann man formal natürlich mit jeder beliebigen Matrix machen. Und ich kann das also

so hinschreiben. Also das ist nichts anderes als die Inverse, die da vorne steht. So, jetzt kann man

schon ablesen, was passiert. Ich habe ein Problem, wenn diese Determinante 0 wird. Da besteht nämlich

1 durch 0, ist offensichtlich unendlich. Und genau diesen Fall bezeichnet man auch als strenge

Resonanz oder eigentliche Resonanz. Das heißt, ich bekomme eine unendliche Amplitudenüberhöhung,

also das G wird unendlich groß, wenn diese Determinante 0 ist. Das kann nur dann passieren,

wenn tatsächlich, also sie kann echt 0 werden, wenn die Eigenwerte von dem A tatsächlich rein

imaginär sind, also die Lambdaj, i Omegaj sind, also keine Realteile haben, das heißt keine Dämpfung

und auch keine Anfachung da ist. Und dann, dass Groß Omega, die Anregungsfrequenz mit einer der

Eigenfrequenzen, Klein Omegaj zusammenfällt. Genau dann verschwindet die Determinante, das war ja

auch das Determinanten, als wir die Eigenwerte bestimmt haben. Genau in dem Fall habe ich halt

eine unendlich hohe Überhöhung. Rein theoretisch gibt es jetzt den Fall der Scheinresonanz. Es

könnte theoretisch möglich sein, dass die Determinante 0 ist und die adjungierte Matrix

auch die 0 Matrix ist. Dann habe ich da so einen Ausdruck 0 durch 0 und dann kommt nach L'Hôpital

irgendetwas Endliches raus. Das ist etwas, was in der Praxis nie vorkommt. Also ich glaube,

das muss man echt mathematisch konstruieren. Also ich habe da noch nie gesehen, das ist ein

hypothetischer Fall der Scheinresonanz. Was in der Praxis eigentlich immer auftritt, das ist die

sogenannte Resonanzerscheinung, was man aber immer als Resonanz bezeichnet ist, dass ich eine

Amplitudenüberhöhung bekomme. Das heißt, die Amplitude wird sehr groß, aber nicht unendlich,

wenn ich halt Eigenwerte habe, die ein Realteil haben. Also Dämpfung oder Anfachung da drin,

also dieses Sigma j, das wäre das Minus Delta, dort nicht 0 ist. Und dann bezeichnet man diese

Überhöhung, diese Frequenz, bei der die Amplitude halt maximal wird als Resonanzfrequenz, auch wenn

es keine strenge Resonanz im mathematischen Sinne ist. Aber als Ingenieur sagt man, man hat Resonanz.

Das heißt, ich habe diesen Peak in der Übertragungsfunktion, werden wir nachher beim

nächsten Mal noch sehen. Und für schwache Dämpfung, also die Systeme, bei denen einen

solche Resonanzfälle interessieren, sind typischerweise schwach gedämpfte Systeme. Das heißt,

das Sigma j ist vom Betrag her sehr klein. Dann ist auch tatsächlich diese Resonanzfrequenz,

dieses Omega r, bei dem das Maximum auftaucht, typischerweise in der Nähe einer Eigenfrequenz.

Also das ist genau der Punkt. Und der Martin wird dann gleich noch ein paar Beispiele zeigen im

Video, wo man sieht, was passiert, wenn man halt ein System in seiner Eigenfrequenz anregt. Das ist

also der Effekt der Resonanz. Das heißt, ich habe typischerweise eine Anregungsfrequenz in der Nähe

der Eigenfrequenz führt zu einer starken Amplitudenüberhöhung. Das heißt, die Antwort

Amplituden gehen da sehr hoch. Das gilt für ein- und mehrmassen-Systeme. Ein weiterer Effekt,

der auftreten kann, das wäre Abschnitt 416, glaube ich, ist der Effekt der Tilgung. Das ist

so etwas ein bisschen das Entgegengesetzte. Auch das wird in der, also Resonanz versucht man